【数学講師向け】基本!絶対値のついた不等式の解法

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  • 2014年06月03日公開
キーワード
不等式
絶対値
高校数学
解き方

絶対値のついた不等式を解こう!!

今回は絶対値のついた不等式の解き方を紹介します。
不等式の中に絶対値が含まれると戸惑ってしまう人は確認しておいて下さい。

 

絶対値とは

絶対値とは、数直線上での0からの距離を意味します。
“距離”は普通、正の値で表現します。

 

 

例えば、
大阪[始点]から東京[終点]までの距離は400km
東京[始点]から大阪[終点]までの距離は400km
というように、始点と終点が入れ替わっても距離は同じ正の値になります。

 

|2|と|-2|を考えてみましょう。
0を基準とすると2は、2離れた位置にあります。
同様に、0を基準とすると-2は、2離れた位置にあります。
|2|=|-2|=2
が正解です。

 

 

0と-2は-2離れているのでは?と思ってしまいがちですが、距離は正の値で表現する決まりなので、
負の数の絶対値は、マイナスを取った値が正解です。
正の数の絶対値は、そのままの値でOKです。

 

絶対値を外す

絶対値を、絶対値を使わない形にすることを”絶対値を外す”と言います。絶対値の外し方を確認しましょう。頻繁に使うのできちんと覚えておきましょう。

絶対値の外し方

|2|= 2 絶対値の中身が正の時は、中身そのまま
|-2|= -(-2) = 2 絶対値の中身が負の時は、中身にマイナスを付けて外す

 

負の値の、”中身にマイナスを付けて外す”というのが重要です!!
1-(-2)=1+2=3
という計算と同様に、マイナスが重なって+になるという計算のきまりを利用して
|-2|= -(-2) = 2
と表現します。

 

なぜこんなにややこしい言い方をするの?と思う人もいるでしょう。
でも、絶対値の中身の符号が分からない時(例えば絶対値の中身が、xなどの文字数列の時)はこの表現を覚えておかないと解けません。


もう一度、絶対値の外し方を押さえておきましょう。


絶対値の外し方
|2|= 2 絶対値の中身が正の時は、中身そのまま
|-2|= -(-2) = 2 絶対値の中身が負の時は、中身にマイナスを付けて外す


さていよいよ次からは実際に絶対値の付いた不等式を解いてみましょう!

絶対値のついた不等式を解こう!!

上で確認した絶対値の外し方を駆使して方程式・不等式を解いてみましょう。

絶対値を用いた方程式

 

先ほど確認した絶対値の外し方についてのルール、

中身が正の数→そのまま外す

中身が負の数→マイナスをつけて外す

を使って絶対値を外します。よって、絶対値記号の中身が正か負かで場合分けが生じます。

慣れてきた場合、方程式の問題であれば場合分けを省略することができます。

絶対値のルールを完全に理解したら、以下の解法でスピーディに解いてみましょう。

 

絶対値を用いた不等式

 不等式の問題はよく注意が必要です。

 

場合分けを面倒くさがらないことが正確に解くことのポイントです。

 

 

絶対値がついていても、基本的に正負で場合分けをして外すだけなのでひるまないようにしましょう!

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