【小学生算数】等差数列・等比数列を攻略！

今回は小学生算数の分野「数列」について取り上げたいと思います。基本的なパターンである等差数列・等比数列について説明したいと思います。

等差数列の場合

まず等差数列について紹介します。等差数列とは「差が等しい」数列なので下のような数列になります。
4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , …
という数列です。これは隣り合う項の差が常に3で一定ですね。一般項の求め方と数列の和の求め方をそれぞれ紹介していきます。

第n項（一般項）の求め方

上の数列で「第100番目の数字を求めなさい」という問題が出たとしたらどのように解きますか？小学生だと「根性で全て書き出す」ということも考えられますがその方法にも限界がありますよね。例えば第5番目の数字を求めるとき私たちはどうしているでしょうか？それは最初の数字4に3を4回足して求めていますよね。よって
第n番目の数字 = 最初の数字 + (n-1) × 差
ということになります。

和の求め方

それでは「1番目の数字から100番目の数字までの和を求めなさい」と言われたらどうしますか？まず最初に公式から書くと
求める和 = （最初の数字 + 最後の数字） × 数字の個数 ÷ 2
ということになります。なぜこのような公式になるのでしょうか？以下で説明します。最初の数列を使って説明します。まず100番目の数字は先ほどの公式を用いて
4 + (100 - 1) × 3 = 301 と求められます。この時求めるべき和をSと表すと下図のようになります。

上図を見ると分かるように求めるべき和の2倍、つまり2Sが305を100個足した和であることが分かります。305というのが公式でいう（最初の数字 + 最後の数字）を表し、100が数字の個数を表します。公式の最後の÷2は2SをSに戻すためのものです。

等比数列の場合

次に等比数列の場合を紹介します。等比数列は「比が等しい」数列なので下のようなものになります。
4 , 12 , 36 , 108 , 324 , 972 , …
という数列です。この場合は第1項から第n項までの和の求め方を小学生にわかるように解説する方法を以下で紹介していきます。（第n項の求め方は単純に比をかけていくだけです）

和の求め方

上の数列で「第1番目の数字から第11番目の数字までの和を求めなさい」という問題が出たとしたらどのように解きますか？一見どう解けば良いのかが分かりづらいですが、実は下の図のように変形すると解くことができます。また求める和をSとおきます。

上の図をみると分かりますが、元の数列に比（この場合3）をかけると数列の最初と最後の項以外が全て消えることになります。なので複雑な計算をすることは必要ではなくなります。ここで教師のみなさんには高校数学で学ぶ等比数列の和の公式を思い出してもらいたいです。公式は
S = 初項 × (1 - 公比の項数乗） / (1 - 公比)
1 - 公比 の部分が正負は入れ替わるものの2Sの2に該当します。2Sの部分は変形すると実は4×(3¹¹ - 1)という形に変形できます。この部分が公式の分子部分に一致します。