数列で～乗和の公式を分かりやすく解説しよう！

数列を学習していると、「～乗の和」という形で公式が3乗の和まで出てくると思います。しかしこれらの公式は覚えにくいのでたまに忘れてしまうこともあるかと思います。そんなときに焦らず公式を思い出せるように、今回は1乗和の公式、2乗和の公式に関してどのような原理で導き出すことができるか紹介しようと思います。

1乗和の求め方－逆さまにして足す！－

1乗和ということは要するに例えば1～nまで単純に合計した場合ですね。この場合の公式を思い出す方法としては「逆さまにする」です！1～nまでの和を考えるとしたら、下のように1～nの順に足す数式とn～1の順番に足す数式を上下に並べて足してみます。ここでは求める和をSという文字で置きます。
1乗和の画像
これで1乗和の公式を導くことができました。

2乗和の求め方－三角形を3つ足す！－

2乗和の求め方のキーワードは「三角形を3つ足す」です！求める和をSとします。具体的には下の図を見てください。

2乗和の公式を導出する画像

上図の3つの三角形は最初の三角形を120°ずつ回転させただけということが分かるでしょうか？
この図より多数の2n+1の合計が3Sに一致することが分かります。最後の三角形にある2n+1の個数は上から1+2+3+…+n、つまり上で説明した1乗和の合計となります。よって公式は下図のようになります。
2乗和の公式画像