【証明まできちんと】角の二等分線の定理の超簡単証明！！

角の二等分線の定理ってなんだったっけ？

角の二等分線の定理についてまずは復習しましょう。

角の二等分線
△ＡＢＣにおいて、∠Ａの２等分線とＢＣの交点をＤとする。このとき、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
が成り立つ。

これが角の二等分線の定理と呼ばれるものです。中学数学の範囲でこの定理を証明しようとすると、補助線、相似を使う必要があり、少々長い証明になってしまいます。

そこで！今回は三角関数を用いた簡単な証明方法を紹介します。もちろん、補助線、相似を利用する証明も図形を読み解く力をつけるためにも一度見ておくべきですが、違う証明方法を見ることで見方が広がります！

それではいきましょう！

角の二等分線

△ABDと△ADCの面積は三角関数を用いてそれぞれ

、

と書ける。この２つを比とすると２つの三角形の面積比となり、AB : AC となる。

また、△ABDと△ACDにおいて、BCを底辺とすると２つの三角形は高さが等しいので面積比は底辺比になり、△ABD: △ACD = BD:DC

ゆえに AB:AC = BD : DC = △ABD : △ACD となり、 AB : AC = BD : DC が示せた。(終)

..いかがでしょうか？三角関数を用いることで証明がこのように簡単に書けました！

実は角の二等分線の証明は三角関数を用いてほかのやり方でも証明できます。教科書に載っている定理のほとんどが証明方法は一通りではありません。数学の見方を広げるためにも様々な証明方法を探してみてくださいね！！

新しいことを習ったら、それを使って今まで学んだ定理を証明しましょう！そうすれば今まで学んだ定理も新しいこともどちらも身につき、一石二鳥です！！